PGCD dépendant d'une variable - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) . On pose \(a=2n-5\) et \(b=5n-9\) .

1. À l'aide de la calculatrice, calculer le PGCD de \(a\) et \(b\) pour \(n\) variant de \(0\) à \(15\) .

2. Calculer \(5a-2b\) . En déduire que le PGCD de \(a\) et \(b\) est \(1\) ou \(7\) .

3. Déterminer les entiers relatifs \(n\) tels que \(2n-5 \equiv 0 \ [7]\) .

4. En déduire \(\mathrm{PGCD}(a;b)\) selon les valeurs de \(n\) .

Solution

1. D'après la calculatrice, on trouve les valeurs suivantes :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline \mathrm{PGCD}(a;b)& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 7& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 7& 1&1\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

2. On a  \(\begin{align*}5a-2b=5(2n-5)-2(5n-9)=10n-25-10n+18=-7.\end{align*}\)  

On note \(d=\mathrm{PGCD}(a;b)\) . Comme \(d\) est un diviseur commun à \(a\) et \(b\) , \(d\) divise toute combinaison linéaire de \(a\) et \(b\) , notamment \(5a-2b\) .

On en déduit que \(d\) divise \(-7\)  et, comme \(d \geqslant 1\) , les seules possibilités sont \(d=1\) ou \(d=7\) .

3. Pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , \(2n-5 \equiv 0 \ [7] \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2n \equiv 5 \ [7]\) . On fait le tableau des congruences de \(2n\) modulo \(7\) :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n \equiv ... \ [7]& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline2n \equiv ... \ [7]& 0& 2& 4& 6& 1& 3& 5\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

On en déduit que, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , \(2n-5 \equiv 0 \ [7]\) si, et seulement si, \(n \equiv 6 \ [7]\) .

4. D'après la question 2., \(d=\mathrm{PGCD}(a;b)\) vaut \(1\) ou \(7\) . D'après la question 3., \(a=2n-5\) est divisible par \(7\) si, et seulement si, \(n \equiv 6 \ [7]\) .
On en déduit que, si \(n\) n'est pas congru à \(6\) modulo \(7\) , alors \(d=\mathrm{PGCD}(a;b)=1\) car \(7\) ne divise pas \(a\) .Il reste à vérifier si \(b\) est divisible par \(7\) lorsque \(n \equiv 6 \ [7]\) .

Supposons donc que \(n \equiv 6 \ [7]\) . On a alors  \(\begin{align*}b \equiv 5n-9 \equiv 5 \times 6-9 \equiv 30-9 \equiv 21 \equiv 0 \ [7]\end{align*}\)  
donc \(b\) est divisible par \(7\) . Comme \(a\) est aussi divisible par \(7\) dans ce cas, on en déduit que \(d=\mathrm{PGCD}(a;b)=7\) .

En résumé :  \(\begin{align*}\mathrm{PGCD}(a;b)=\left\lbrace \begin{array}{ll}7 & \text{ si } n \equiv 6 \ [7]\\ 1 & \text{ sinon.}\end{array} \right.\end{align*}\)